5節リンク機構の1節を伸ばして作用点にするやつ

パラレルリンクはリンク根元にモータ類を置けるのでとても便利です。
ディズニーのアニマトロニクスのアバターの顔面の中の機構と同じですね。口角の一番端に使われてたり。*1
その上5節リンクはこちらで*2丁寧に解説なされているので活用しない手は無いでしょう。

基本的に座標の配置や文字は上記サイトに準じて考えます。

で、本題なのですが、M1X（あるいはXM2）のリンクをX方向に伸ばして作用点とする場合にどうなるのか考えて見ます。下図参照。
要はチェビシェフリンクのようなものです。

こういうやつ

XとMに回転軸を持っていてPで外へ点接触するような1つの剛体を足先リンクとします。M-X軸上にPを置く感じ。実際にはPが球状になっているイメージです。

手先位置をP、手先に加わる力をFとして考えます。

今回はXM1をX方向に伸ばしたリンク（足先リンク）について考えますが、XM2の場合は諸々の添え字を1から2に変えたら反転させることもできると思います。試してみてください。

Pに関してはkmみたいに置く感じでいいと思います。kは寸法置きやすいよう(k-1)|m|が整数になる感じで。
M-X軸上にPを置かないときはちょっとめんどくさそう。デザインに凝るとか可動域の問題とか十分ありえる。
今は平面で考えてますけどZ軸方向にオフセットすることもあるかもしれません。

足先リンクは作用点Pに加わるF、あとはxに加わるfxとsに加わるfmがあります。
これが釣り合い状態のときを考えると力の釣り合いと剛体回転の釣り合いの2式が立ちます。

fmを消します

fxとFの関係をまとめます

入力（トルク）と出力（力）の間にねじ込みます。ここが間違ってないか不安なので後から直しやすいようヤコビ行列と逆ヤコビ行列はそのまま残しておきます。

ここにfxとFの関係を入れてfxを消します。逆演算時の逆ヤコビにも転置使いますよね…？

このあとロボット作って確かめて間違ってたらしれっと数式直します。

*1:DISNEY’S NEW ANIMATRONICShttps://www.youtube.com/watch?v=bFU9Qg_6EsY

*2:5 節リンク機構の運動学
Kinematics of 5-Bar-Link Mechanism
小関義彦：産業技術総合研究所人間福祉医工学研究部門
https://staff.aist.go.jp/koseki-y/tutorial/parallel/kine5bar1/kine5bar1.htm